TRIANGLES

10.2 Triangles.

Què és un triangle? Triangle és el polígon format per tres rectes que es tallen; per tant, té tres costats i tres angles.

10.2.1 Propietats

1.    La suma dels tres angles d’un triangle és de 180º (αº+βº+уº=180º)

2.    Com més gran és l’angle, més gran és el costat oposat. Si у>α, també c>a

3.    Qualsevol costat és més petit que la suma dels altres dos i més gran que la seva diferència.

4.    Es un triangle rectangle es verifica que la hipotenusa és més gran que els catets; és a dir: a>c i a>b

10.2.2 Rectes i punts notables

Bisectrius. Són les rectes que divideixen els angles del triangle en dues parts iguals.

Es tallen en un punt anomenat incentre. L’incentre, és el centre de la circumferència inscrita tangents als costats del triangle.

Mediatrius. Són les rectes perpendiculars en el punt mitjà de cada costat.

Les mediatrius es tallen en un punt anomenat circumcentre. El circumcentre és el centre de la circumferència circumscrita que passa pels vèrtexs del triangle.

Mitjanes. Són les rectes que uneixen un vèrtex amb el punt mitjà del costat oposat.

Es tallen en un punt anomenat baricentre. El baricentre es troba situat a 2/3 de la longitud total de la mitjana.

Altures. Són les rectes perpendiculars a un costat i que passen pel vèrtex oposat.

Les altures es tallen en l’ortocentre.

10.2.3 Construccions de triangles.

Per construir un triangle ens han de donar tres elements, ja siguin els tres costats, algun angle i algun costat, alguna de les mitjanes, les altures, etc.

Cal considerar que en la construcció de triangles rectangles una de les dades és l’angle de 90º.

Construccions gràfiques de triangles amb regle i compàs:

1.    Donats els tres costats.

1.    Donats dos costats i l’angle comprès entre ells.

1.    Triangle isòsceles donades la base i l’altura.

CONSTRUCCIONS DE FORMES POLIGONALS

10. Construccións de formes poligonals.

Un polígon és una figura plana, tancada i limitada per uns segments (com a mínim 3) que són els costats. Els punts dels extrems són els seus vèrtex; és irregular si els costats i els angles són desiguals; i és regular si són iguals.

10.1 Classificació dels polígons.

Segons el nombre de costats, els polígons reben el nom de:

Triangle, polígon de 3 costats

Quadrilàter, polígon de 4 costats

Pentàgon, polígon de 5 costats

Hexàgon, polígon de 6 costats

Heptàgon, polígon de 7 costats

Octògon, polígon de 8 costats

Enneàgon, polígon de 9 costats

Decàgons, polígon de 10 costats

Hendecàgon, polígon d’11 costats

Dodecàgon, polígon de 12 costats

Pel que fa als seus angles, podem dividir els triangles en:

Rectangles, quan un dels seus angles és de 90º

Acutangles, quean els tres angles dels triangle són menors de 90º

Obtusangles, quan un dels angles és més gran de 90º

Activitats de tangències

JActivitats:

1.    Fer la làmina, omplir dades i informació sobre els elements de la circumferència.

2.    Determinar el centre de dues circumferències.

3.    Explicar la diferència que hi ha entre un cercle i una circumferència.

4.    Dibuixa dues circumferències tangents exteriors, una amb un radi de 5 cm i l’altra amb un radi 3 cm.

5.    Dibuixa dues circumferències tangents interiors, una amb un radi de 6 cm i l’altra amb un radi 2 cm.

TANGÈNCIES

Tangències

Diem que una recta és tangent a una circumferència, o que una circumferència és tangent a una recta o a una altra circumferència quan tan sols tenen un punt de contacte entre totes dues.

CIRCUMFERÈNCIA

La circumferència

Quina diferència existeix entre un cercle i una circumferència?

Una circumferència és una línia corba, tancada i plana, els punts de la qual estan a la mateixa distància d'un altre interior que anomenem centre, és a dir: els punts de la circumferència tenen la propietat de ser equidistants del centre i defineixen un lloc geomètric.

Un cercle és la superfície continguda dins de la circumferència.

Les parts de la circumferència són:

Centre: és el punt interior O del que equidisten tots els punts de la circumferència.

Punt de tangència: és el punt que la circumferència té en comú amb una recta tangent.

Radi: és el segment que uneix el centre amb un punt C qualsevol de la circumferència.

Corda:  és el segment que uneix dos punts D i I de la circumferència sense passar pel seu centre.

Diàmetre: és la corda de major longitud. Uneix dos punts qualssevol A i B de la circumferència,passant pel centre.

Arc: és la part de la circumferència limitada per dos punts I i F presos sobre ella.
Fletxa: és segment perpendicular a una corda comprès entre el seu punt mitjà i l'arc corresponent a aquesta corda, segment MQ.

Semicircumferència i quadrant: És la meitat i quarta part de la circumferència.

Secant: és la recta que talla a la circumferència en dos punts.

Determinació del centre d’una circumferència.

1.    Es prenen tres punts qualssevol de la circumferència (A, B i C) i s’uneixen formant segments. Els tres segments formaran un triangle inscrit en la circumferència.

2.    Es tracen les midiatrius dels dos segments AB i BC i el punt on es tallin és el centre O de la circumferència.

Activitats:

1.    Fer la làmina, omplir dades i informació sobre els elements de la circumferència.

2.    Determinar el centre de dues circumferències.

3.    Explicar la diferència que hi ha entre un cercle i una circumferència.

ANGLES

Angles

Un angle és la part d’un pla compresa entre dues semirectes que es tallen en un punt o vèrtex.

Els costats de l’angle són les semirectes que surten de l’origen o vèrtex. El angles es mesuren en graus; l’angle que abasta tot el pla és l’angle de 360º.

8.1 Classificació dels angles.

Diem que un angle és agut quan és més petit de 90º, recte quan és igual a 90º , obtús quan és més gran de 90º i pla quan és de 180º.

8.2 Angles complementaris i suplementaris.

L’angle complementari d’un altre és l’angle que sumat al primer forma un angle recte (90º).

L’angle suplementari d’un altre és l’angle que sumat al primer forma un angle pla (180º)

8.3 Trasllat d’angles.

8.4 Suma i diferència d’angles.

8.5 Bisectriu d’un angle.

La bisectriu és la semirecta que té l’origen en el vèrtex de l’angle i el divideix en dues parts iguals. La bisectriu d’un angle es traça de la manera següent:

Amb centre a O i un radi qualsevol, es traça un arc que tallarà els costats de l’angle en dos punts (A i B)

Amb un radi més gran que la distància entre A i B, es fa centre successivaments a A i a B i es tracen dos arcs que donaran el punt C

Es traça la semirecta OC

 

8.6 Traçats d’angles amb el compàs i amb plantilles.

Per traçar angles com el de 90º, 45º, 60º i 30º, només cal aplicar uns senzills processos geomètrics, tots relacionats amb el traçat de la bisectriu.

Angle de 90º

Es traça la perpendicular al segment AB pel punt O. Per obtenir l’angle de 45º es traça la bisectriu de l’angle de 90º.

               

Angle de 60º

Amb centre a O i un radi qualsevol, es traá un arc que talli r en un punt A. Amb centre a A i radi  OA, es traça un altre arc qe donarà lloc al punt B. Per obtenir l’angle de 30º es traça la bisectriu de l’angle de 60º

J Activitats

1.    Suma successivament els angles del cartabó a l’angle recte de l’escaire. Fes un dibuix de cada posició i digues quins graus obtens en cada cas.

2.    Com es traça amb les plantilles un angle de 270º? Fes el traçat per comprovar-ho i explica el teu raonament.

3.    Quina és la bisectriu d’un angle de 180º? Explica la resposta.

OPERACIONS AMB SEGMENTS

Operacions amb segments

Recordem que un segment és una línia recta limitada per dos extrems. Els segments es designen pels punts dels extrems.

Hi ha divereses operacions que podem fer amb segments.

Podem sumar-los, restar-los, multiplicar un segment per un nombre o dividir un segment en parts iguals.

7.1 Suma de segments.

Sumar dos o més segments és col·locar-los l’un a continuació de l’altre damunt d’una recta (AB+BC+CD=AD)

7.2 Resta de segments.

Restar dos segments (AB-AC) és col·locar-los l’un damunt de l’altre coincidint per un extrem. La diferència entre els altres dos extems (C i B) és la resta (CB)

                                                                            

7.3 Divisió d’un segment en parts iguals. Teorema de Tales)

Per dividir un segment AB en set parts iguals hem de seguir els passos següents:

1.    Tracem una semirecta qualsevol que tingui en comú amb el segment un dels extrems (punt A)

2.    Situem damunt de la recta auxiliar 7 vegades una magnitud qualsevol amb el compàs.

3.    Unim l’última divisió de la recta (7) amb l’altre del segment (punt B)

4.    Des de les parts 6, 5, 4, 3, 2 i 1 tracem, amb el regle i l’escaire paral·leles a la recta que uneix la divisió 7 amb el punt B del segment i tindrem el problema resolt.

7.4 Divisió d’un segment en dos parts iguals. La mediatriu.

La mediatriu d’un segment és la recta perpendicular al segment que passa pel seu centre.

Donat el segment AB, per contruir la mediatriu fem dos arcs de circumferència amb centre en A i B i amb el radi més gran que la meitat del segmenet.

Ajuntant els punts on es tallen els arcs trobem la recta mediatriu del segment.

El traçat es basa en què qualsevol punt de la mediatriu equidista dels extrems A i B: la mediatriu és lloc geomètric, donat que tots els seus punts verifiquen aquesta propietat.

PARAL·LELISME

1.    Paral·lelisme

Diem que dues rectes són paral·leles quan considerem que es tallen en un punt de l’infinit (punt impropi)

1.1 Recta paral·lela a una recta donada per un punt exterior a aquesta.

Donat el punt A, volem traçar una recta paral·lela a r que passi per aquest punt (hi considerem dues construccions)

Solució 1

Des d’un punt O₁ qualsevol de la recta tracem un arc que passi per A i talli la recta a O₂ . Des de A i amb el mateix radi fem un arc que passarà per O_1. Amb el compàs agafem la distància O₂A i, fem centre a O₁, fem unarc que talla l’anterior en B. Ajuntant A i B construïm la paral·lela.

Solució 2

Des d’un punt O₁ qualsevol de la recta fem mitja circumferència que passi per A . Agafant amb el compàs la distància O₂A i fem centre a O₃ tracem un arc que talla la mitja circumferència en el punt B. Ajuntant A i B construïm la parel·lela.