Activitats de tangències

JActivitats:

1.    Fer la làmina, omplir dades i informació sobre els elements de la circumferència.

2.    Determinar el centre de dues circumferències.

3.    Explicar la diferència que hi ha entre un cercle i una circumferència.

4.    Dibuixa dues circumferències tangents exteriors, una amb un radi de 5 cm i l’altra amb un radi 3 cm.

5.    Dibuixa dues circumferències tangents interiors, una amb un radi de 6 cm i l’altra amb un radi 2 cm.

TANGÈNCIES

Tangències

Diem que una recta és tangent a una circumferència, o que una circumferència és tangent a una recta o a una altra circumferència quan tan sols tenen un punt de contacte entre totes dues.

CIRCUMFERÈNCIA

La circumferència

Quina diferència existeix entre un cercle i una circumferència?

Una circumferència és una línia corba, tancada i plana, els punts de la qual estan a la mateixa distància d'un altre interior que anomenem centre, és a dir: els punts de la circumferència tenen la propietat de ser equidistants del centre i defineixen un lloc geomètric.

Un cercle és la superfície continguda dins de la circumferència.

Les parts de la circumferència són:

Centre: és el punt interior O del que equidisten tots els punts de la circumferència.

Punt de tangència: és el punt que la circumferència té en comú amb una recta tangent.

Radi: és el segment que uneix el centre amb un punt C qualsevol de la circumferència.

Corda:  és el segment que uneix dos punts D i I de la circumferència sense passar pel seu centre.

Diàmetre: és la corda de major longitud. Uneix dos punts qualssevol A i B de la circumferència,passant pel centre.

Arc: és la part de la circumferència limitada per dos punts I i F presos sobre ella.
Fletxa: és segment perpendicular a una corda comprès entre el seu punt mitjà i l'arc corresponent a aquesta corda, segment MQ.

Semicircumferència i quadrant: És la meitat i quarta part de la circumferència.

Secant: és la recta que talla a la circumferència en dos punts.

Determinació del centre d’una circumferència.

1.    Es prenen tres punts qualssevol de la circumferència (A, B i C) i s’uneixen formant segments. Els tres segments formaran un triangle inscrit en la circumferència.

2.    Es tracen les midiatrius dels dos segments AB i BC i el punt on es tallin és el centre O de la circumferència.

Activitats:

1.    Fer la làmina, omplir dades i informació sobre els elements de la circumferència.

2.    Determinar el centre de dues circumferències.

3.    Explicar la diferència que hi ha entre un cercle i una circumferència.

ANGLES

Angles

Un angle és la part d’un pla compresa entre dues semirectes que es tallen en un punt o vèrtex.

Els costats de l’angle són les semirectes que surten de l’origen o vèrtex. El angles es mesuren en graus; l’angle que abasta tot el pla és l’angle de 360º.

8.1 Classificació dels angles.

Diem que un angle és agut quan és més petit de 90º, recte quan és igual a 90º , obtús quan és més gran de 90º i pla quan és de 180º.

8.2 Angles complementaris i suplementaris.

L’angle complementari d’un altre és l’angle que sumat al primer forma un angle recte (90º).

L’angle suplementari d’un altre és l’angle que sumat al primer forma un angle pla (180º)

8.3 Trasllat d’angles.

8.4 Suma i diferència d’angles.

8.5 Bisectriu d’un angle.

La bisectriu és la semirecta que té l’origen en el vèrtex de l’angle i el divideix en dues parts iguals. La bisectriu d’un angle es traça de la manera següent:

Amb centre a O i un radi qualsevol, es traça un arc que tallarà els costats de l’angle en dos punts (A i B)

Amb un radi més gran que la distància entre A i B, es fa centre successivaments a A i a B i es tracen dos arcs que donaran el punt C

Es traça la semirecta OC

 

8.6 Traçats d’angles amb el compàs i amb plantilles.

Per traçar angles com el de 90º, 45º, 60º i 30º, només cal aplicar uns senzills processos geomètrics, tots relacionats amb el traçat de la bisectriu.

Angle de 90º

Es traça la perpendicular al segment AB pel punt O. Per obtenir l’angle de 45º es traça la bisectriu de l’angle de 90º.

               

Angle de 60º

Amb centre a O i un radi qualsevol, es traá un arc que talli r en un punt A. Amb centre a A i radi  OA, es traça un altre arc qe donarà lloc al punt B. Per obtenir l’angle de 30º es traça la bisectriu de l’angle de 60º

J Activitats

1.    Suma successivament els angles del cartabó a l’angle recte de l’escaire. Fes un dibuix de cada posició i digues quins graus obtens en cada cas.

2.    Com es traça amb les plantilles un angle de 270º? Fes el traçat per comprovar-ho i explica el teu raonament.

3.    Quina és la bisectriu d’un angle de 180º? Explica la resposta.

OPERACIONS AMB SEGMENTS

Operacions amb segments

Recordem que un segment és una línia recta limitada per dos extrems. Els segments es designen pels punts dels extrems.

Hi ha divereses operacions que podem fer amb segments.

Podem sumar-los, restar-los, multiplicar un segment per un nombre o dividir un segment en parts iguals.

7.1 Suma de segments.

Sumar dos o més segments és col·locar-los l’un a continuació de l’altre damunt d’una recta (AB+BC+CD=AD)

7.2 Resta de segments.

Restar dos segments (AB-AC) és col·locar-los l’un damunt de l’altre coincidint per un extrem. La diferència entre els altres dos extems (C i B) és la resta (CB)

                                                                            

7.3 Divisió d’un segment en parts iguals. Teorema de Tales)

Per dividir un segment AB en set parts iguals hem de seguir els passos següents:

1.    Tracem una semirecta qualsevol que tingui en comú amb el segment un dels extrems (punt A)

2.    Situem damunt de la recta auxiliar 7 vegades una magnitud qualsevol amb el compàs.

3.    Unim l’última divisió de la recta (7) amb l’altre del segment (punt B)

4.    Des de les parts 6, 5, 4, 3, 2 i 1 tracem, amb el regle i l’escaire paral·leles a la recta que uneix la divisió 7 amb el punt B del segment i tindrem el problema resolt.

7.4 Divisió d’un segment en dos parts iguals. La mediatriu.

La mediatriu d’un segment és la recta perpendicular al segment que passa pel seu centre.

Donat el segment AB, per contruir la mediatriu fem dos arcs de circumferència amb centre en A i B i amb el radi més gran que la meitat del segmenet.

Ajuntant els punts on es tallen els arcs trobem la recta mediatriu del segment.

El traçat es basa en què qualsevol punt de la mediatriu equidista dels extrems A i B: la mediatriu és lloc geomètric, donat que tots els seus punts verifiquen aquesta propietat.

PARAL·LELISME

1.    Paral·lelisme

Diem que dues rectes són paral·leles quan considerem que es tallen en un punt de l’infinit (punt impropi)

1.1 Recta paral·lela a una recta donada per un punt exterior a aquesta.

Donat el punt A, volem traçar una recta paral·lela a r que passi per aquest punt (hi considerem dues construccions)

Solució 1

Des d’un punt O₁ qualsevol de la recta tracem un arc que passi per A i talli la recta a O₂ . Des de A i amb el mateix radi fem un arc que passarà per O_1. Amb el compàs agafem la distància O₂A i, fem centre a O₁, fem unarc que talla l’anterior en B. Ajuntant A i B construïm la paral·lela.

Solució 2

Des d’un punt O₁ qualsevol de la recta fem mitja circumferència que passi per A . Agafant amb el compàs la distància O₂A i fem centre a O₃ tracem un arc que talla la mitja circumferència en el punt B. Ajuntant A i B construïm la parel·lela.

Dibuix Tècnic. Perpendiculars.

1  Perpendicularitat

Dues rectes son perpendiculats quan es tallen formant quatre angles de 90º

11.1 Perpendicular a una semirecta per l’extrem

Donada una semirecta r i el punt d’origen A per traçar la recta perpendicular que passi per aquest punt, fem centre a A i amb qualsevol radi tracem un arc.

En el punt O₁ en què aquest arc talla la recta r fem centre i, amb el mateix radi, tracem l’arc que passa per A.

En el punt O₂ en què es tallen els dos arcs tornem a fer centre i tracem un nou arc amb el mateix radi que talli el primer; des d’aquest punt O₃ fem un nou arc que determina B. Ajuntant el punt B amb el punt A construïm la recta perpendicular

11.2 Perpendicular a una recta en un punt donat

Donada una recta r i un punt A situat en aquesta, per traçar la perpendicular a r en aquest punt fem centre a A i, amb qualsevol radi, tracem dos arcs que tallin la recta O₁ i O₂.

Des d’aquest punts, i amb un radi més gran, fem dos arcs que es tallin en B. Ajuntant el punt B amb A trobem la recta perpendicular.

11.3 Perpendicular a una recta des d’un punt

Donat el punt A exterior a la recta r, volem traçar la perpendicular des d’aquest punt a la recta.

Des del punt A dibuixem un arc de qualsevol radi que talli la recta r en dos punts, i des d’aquests punts O₁ i O₂ tracem dos arcs amb un altre radi que es tallin en B. Ajuntant A i B construïm la recta perpendicular a r des del punt A.